> それって、良いのか悪いのか分かりませんね。
> 私はＨ法しか使ったこと無いですけど、Ｐ法ってマジでブラックボックスですね。

by ピピ さん

それを言うなら、h法でも市販のソフトは要素の定式化にいろいろな
「はなぐすり」を利かせているため、かなりのブラックボックスで
あることには変わりありませんよ（＾＾；）。

同じような解析をするにも多数の要素選択肢があったりしますしね。
メッシュの切れ方や中間節点の位置は確かに目視確認はできますが、
だからといって簡単に修正できるような代物でもないと思います。
（解の精度の予測くらいはつくかもしれませんが、それはP法でも
結果やログを見れば少なくとも同程度以上にはわかります）

ちなみにPro/MechanicaではASCII形式で出力すれば「内部点」
の座標と変位値が取得できます。
「グリットポイント」という結果出力パラメータの数を大きくし
ておくと「内部点」の数も増えるので、これが「選点」に相当する
のではないかと思います。（確信なし＾＾；）

重要なのは、入力に対して再現性のある安定した解が得られること
だと思います。
挙動さえ明確であれば、あとは実験とのこりレーションなり、
モデル化の工夫でいくらでも役に立つ解析は実施可能ですから。

> ただ、その後の処理の中でエッジや要素内部に「選点」が使われ
> るとのことですが、これは計算を進める上で「変位」を評価する
> ための点（ここから変位の補間関数を構築する）のようですから
> 中間節点とは意味合いがちょっと違いますね。
by　imadaさん

情報ありがとうございます。それで理解できました。
「節点」という表現ではなく、「選点」で離散化するということですね。
なんだかスッキリしました。

> これはプログラム内部で処理される物ですからユーザーから直接
> 見ることはできません。

それって、良いのか悪いのか分かりませんね。
私はＨ法しか使ったこと無いですけど、Ｐ法ってマジでブラックボックスですね。

どうもありがとうございました。

丁寧な解説、ありがとうございます。

> P法の場合、変位関数およびMapping関数を１次関数、２次関数、３次関数・・・の組み合わせてで表現しています。関数の構成は通常、有名な多項式を採用しています。これはソフトによって違いますが、１次、２次、３次関数間、直交性が要求されます。各次関数の係数（重み）は未知数になります。
> 考え方は振動のモード重ねあわせ法と同じです。中間節点の必要がありません。内部にも点を設ける必要がありません。
> 以上のように変位関数があれば、そこから微分すれば、Bマトリックスが得られます。以降はひずみエネルギー、仮想仕事原理、通常のFEMとまったく同じです。
by　P-solutionさん

そこまでは理解できているつもりです。
つまり、要素内任意点の変位を内挿するための形状関数を求める手法が違うということですよね。
形状関数が求まってしまえば、必要な方向に対して偏微分すればＢマトリクスが得られる
という点も理解できます。

私が分からない部分は、形状関数を直交する関数で級数的に近似する場合でも、やはり
参照点（節点？）を増やさなければ離散化誤差は減少しないのではないか？という部分です。

それに、連続体を離散化モデルとして計算した結果は、Ｂマトリクスの参照点（節点？）
に対してしか出力できないのではないか？という部分です。

素人の私には、
「アダプティブＰ法では節点は増えない」＝「ＤＯＦが増えない」
としか思えないという勘違いなので、まだ理解できません（泣）

階層型要素について書かれている資料を見て見ましたが、
ハッピーさんやP-solutionさんが書かれているような
説明がされていました。

確かに、各次の基底関数の重ねあわせで、各辺の形状関数は構築
できるので、中間節点を置く必要はなさそうですね。
ただ、その後の処理の中でエッジや要素内部に「選点」が使われ
るとのことですが、これは計算を進める上で「変位」を評価する
ための点（ここから変位の補間関数を構築する）のようですから
中間節点とは意味合いがちょっと違いますね。
これはプログラム内部で処理される物ですからユーザーから直接
見ることはできません。

私の投稿で紛らわしい表現があったことをお詫びします。

P法の場合、変位関数およびMapping関数を１次関数、２次関数、３次関数・・・の組み合わせてで表現しています。関数の構成は通常、有名な多項式を採用しています。これはソフトによって違いますが、１次、２次、３次関数間、直交性が要求されます。各次関数の係数（重み）は未知数になります。
考え方は振動のモード重ねあわせ法と同じです。中間節点の必要がありません。内部にも点を設ける必要がありません。
以上のように変位関数があれば、そこから微分すれば、Bマトリックスが得られます。以降はひずみエネルギー、仮想仕事原理、通常のFEMとまったく同じです。
当然P法はFEMの新しい段階ですのでH法はそれの特例です。（１次関数のみ）
次数が足りないとき、当然外力の仕事とひずみエネルギーとの間に差がありますので、ソルバー内部は判定できます。すると必然的に次数の向上を要求します。最終的に真の解に到達できます。
Mechanicaの場合、AdaptiveP法を使用しています。すなわち、エッジごとに、要素ごとに、内部判定しますので、必要なとことだけ次数が上がり、応力集中が自動的に発見されます。
このような作業はコンピュータの内部作業によって完成するので、ユーザーは特に意識しなくてもいいです。FEMの知識がなくても使えるのはこのためです。
H法なら、要素の知識、中間節点などの知識を前提にしているので、一般設計者にとって、敷居が高いです。
管見ですので、間違ったら、ご指摘ください。

> > 実用大事典に書いていますように、関数を１次関数、２次関数．．．．と重みaiを
> > 掛けて重ね合わせていき、この重みaiを自由度＝未知数とするわけです。
> > フーリエ級数展開も似ているでしょう？各項の振幅を重みaiと見れば。
> > CAE実用大事典「ソフト別コーナー/StressCheck」のHPにイメージ的な説明がありますヨ
> > http://www.ada.co.jp/　の「StressCheck→P法有限要素法とは」をご覧下さい。
> byハッピーさん
>
> ハッピーさんは本当に親切ですね。大感謝です。
>
> 全体座標における位置と変位の近似を関数の重ね合わせで行うのは分かるのですが、
> Ｂマトリクスは節点が存在しないところでは作れないのでは無いのですか？
>
> ＦＥＭの手法なのだから、当然離散化モデルで扱っているのだと思いますが、節点が
> 存在せずに離散化できないような気がするのです。
>
> ということで、まだ分かりません(T-T)
> 私が理解できる適当な文献を探して見ます。理解できたら報告します。

> 実用大事典に書いていますように、関数を１次関数、２次関数．．．．と重みaiを
> 掛けて重ね合わせていき、この重みaiを自由度＝未知数とするわけです。
> フーリエ級数展開も似ているでしょう？各項の振幅を重みaiと見れば。
> CAE実用大事典「ソフト別コーナー/StressCheck」のHPにイメージ的な説明がありますヨ
> http://www.ada.co.jp/　の「StressCheck→P法有限要素法とは」をご覧下さい。
byハッピーさん

ハッピーさんは本当に親切ですね。大感謝です。

全体座標における位置と変位の近似を関数の重ね合わせで行うのは分かるのですが、
Ｂマトリクスは節点が存在しないところでは作れないのでは無いのですか？

ＦＥＭの手法なのだから、当然離散化モデルで扱っているのだと思いますが、節点が
存在せずに離散化できないような気がするのです。

ということで、まだ分かりません(T-T)
私が理解できる適当な文献を探して見ます。理解できたら報告します。

> しかし、中間節点が無いというのは想像できません。どういう仕組みなんでしょう？
by ピピさん

実用大事典に書いていますように、関数を１次関数、２次関数．．．．と重みaiを
掛けて重ね合わせていき、この重みaiを自由度＝未知数とするわけです。
フーリエ級数展開も似ているでしょう？各項の振幅を重みaiと見れば。
CAE実用大事典「ソフト別コーナー/StressCheck」のHPにイメージ的な説明がありますヨ
http://www.ada.co.jp/　の「StressCheck→P法有限要素法とは」をご覧下さい。
（確か、kuscoさんの説明書にも似たような図がありましたね？）

またやっちゃいました(^-^；

> 実用大事典に書きましたように、ヒエラルキー要素では節点は増やさないと思いますよ。
> 少し値は張りますが「マトリックス有限要素法」O.C.Zienkiewicz著が詳しかったと思います
> ので、ご興味あれば図書館など探してみてはいかが？
byハッピーさん

情報ありがとうございます。
しかし、中間節点が無いというのは想像できません。どういう仕組みなんでしょう？
とにかく勉強してみます。

良く考えてみたらとんでもない電波飛ばしてたみたいで、自己レスです。

> 【Ｐ法（ヒエラルキー要素）】
> ・要素形状は固定
> ・要素内に節点は増やさない。
> ・形状関数（内挿関数？）をジオメトリに対して多項式近似、項数（次数）を上げて精度向上
by自分

ラグランジュ要素＝節点に応じた形状関数をラグランジュ補間してＢマトリクスを作るもの
ヒエラルキー要素＝？

ヒエラルキー要素でも、節点は増やさないとＢマトリクス⇒Ｋマトリクスに反映されないですよね。
上述説明はとんでもない勘違いでした。スミマセン。
どなたか正しい知識を教えてください。

imadaさん、ハッピーさん。３年も前に議論していることをありがとうございました。

> 実用大事典を見ると、
> 「構造解析/FEM各論/P法・アダプティブ法」の＜P法での形状モデル化＞ で
> 議論がありました。1999年ですから、ホントずいぶん前の話ですねぇ。
byハッピーさん

確認しないで聞いてばかりではダメだと反省し、大事典の関連項目に目を通しました。
大概のことは大事典で探せることが分かり、大きな収穫です。

> Ｐ法と一口に言っても、Ｈ法で使われるラグランジュ要素の高次な物にスィッチ
> していくものと、ヒエラルキー要素（階層型要素）を使うものがあって
> 扱い方は異なると思います。

自分が理解したと思われることを書き込みます。御教授願います。

離散化誤差が大きい部分を自動的に判断して、設定された精度に収束させるアダプティブ手法の場合
【Ｐ法（ラグランジュ要素）】
・要素形状は固定
・要素内に節点を増やし、形状関数（内挿関数？）の項数（次数）を上げて精度向上
【Ｐ法（ヒエラルキー要素）】
・要素形状は固定
・要素内に節点は増やさない。
・形状関数（内挿関数？）をジオメトリに対して多項式近似、項数（次数）を上げて精度向上
【Ｈ法】
・要素の次数、節点は固定
・要素分割数を増大（サイズを低減）して精度向上

こんなレベルの理解しかできませんでした。
議論されてるのは２～３年前みたいですけど、現在のＰ法で変わっていることがあれば
教えてください。

それから、鈴木さん了解です。あまり気になさらないで下さい。

そーですね．ちょっと書きすぎてしまいました．すみません．特許はいろんなところを抑えてます．もしよろしければ，私が書いた部分（＞の部分）をけしていただけませんでしょうか？
ｂｙビビさん，ハッピーさん

まずは仮説ですね．いろいろ考えてみます．ご助言ありがとうございます．
＞ｂｙハッピーさん

> 毎度素人な質問なんですけど、Ｐ法って中間節点が無いのに、どうやって高次要素
> を作るんですか？形状関数はどうなるのでしょうか？
by ピピ さん。

エッジが直線の場合はいいとして、曲線の場合は元になる
曲線のジオメトリがあると思います。
このジオメトリ上に内部点を規則にしたがって置くようです。
（この辺はソフトによって違うかもしれませんが、
横山先生の本ではそのような説明だったかと思います）
当然、形状関数も構築できます。
ずいぶん前にここでも議論されたような・・・。

> それから、Ｐ法でもＨ法でも良いのですが、シェルの場合の三角形要素の存在意義
> というか適性ってあるのでしょうか？
> 「全部四角形要素にすればいいぢゃん、中間節点もいちいち聞かないで付けとけよ（笑）」
> って感じなんですけど、どのように使い分ければ良いのでしょうか？

３角形要素はテトラの表面に貼り付けるときには必要ですね。
それ以外では、４角形要素だけだと要素形状が悪くなるとき、
関係ない部分の要素数を減らしたいときの遷移部分などでも
重宝します。
中間節点はディフォルトにしたいのでしょうけど、位置に対して
センシティブなのでまだまだ扱いが難しい面があるのではない
でしょうか？

１次要素は問題外だけれども、だからといって一概に２次要素にも
できない。この辺がｈ法の苦しい所ですね。
こういう点ではP法のありがたさを感じます。

「このメッシュならこの程度の結果」というノウハウを確立している
人なら問題は無いでしょうが・・・。

そういえば昔、I-DEASで３次要素というのがありましたね。
今もあるのかな～？

atmoriさん、こんにちは。

皆さん、いろんな情報ありがとうございます。
非常に勉強になります。

> DesignSpaceも視野に入れてもいいかもしれませんね。
> サイバネットのWebには
> http://www.cybernet.co.jp/designspace/delphi.html
> >Pro/EとDesignSpaceの互換性は最高です。現在作っているモデルに対しそのまま荷重条件や拘束条件を追加すれば、後は結果が出てくるのですから。
> こんな事書いてますし（まぁ悪口書くわけないので話半分として（笑））

DesignSpaceはSolidWorks専用と思っていましたが、Pro/Eにも対応してるんですね。
幾つかのメーカーに問合せを入れていると、中間ファイルを利用するものは結構苦労を要することが分かってきました。
CAE初心者の私には、とても扱える自身がありません。
という事で、Pro/Eのデータに対応できるものに絞って検討してみようと思います。
DesignSpaceも視野に入れてみます。

Pro/E対応のものが他にもありましたら教えて下さい。
確か3Gaも対応してたような気がしますが・・・。

こんにちは。皆様
> 現在会社で使用しているＣＡＤは、「CAD Super JX」と「Pro/E」ですが、
DesignSpaceも視野に入れてもいいかもしれませんね。
サイバネットのWebには
http://www.cybernet.co.jp/designspace/delphi.html
>Pro/EとDesignSpaceの互換性は最高です。現在作っているモデルに対しそのまま荷重条件や拘束条件を追加すれば、後は結果が出てくるのですから。
こんな事書いてますし（まぁ悪口書くわけないので話半分として（笑））

ついでに（昔から何回も書いてますが）Ansys/EDはLS-DYNAもついていて
５万円です。３次元は殆ど無理ですが、２次元なら結構役に立ちます。
http://www.cybernet.co.jp/ansys/product/ed1.html
とりあえずCAEで何が出来そうなのか試してみるならいいかも。

試すといえば　Student's QuickField これなら無料です。
http://www.quickfield.com/