> Newton-Raphson法を文字で分かりやすく説明するのは、かなりの表現力が必要かも．．．
> 式なら→http://kiso.dj.kit.ac.jp/~nakamori/class/Numerical/html/chap2/Newton.html　　

無理があるかもしれませんが．．．
一番単純な非線形方程式式として、X^2(2乗)＝０をニュートンラフソン法で解いてみると。
答えはいうまでもなく、X＝０です。
収束計算を行うには、まず初期値が必要です。仮にX0＝１とします。
紙にY＝X^2のグラフを、X＝０から１の範囲で描いて、X軸上にX0、グラフ上にY0点をおいて
X0からY0に直線を引く、これがスタートラインです。
ここから（Xi、Yi）を動かしていき、Yi≒０となるXiを探すわけです。
準備として、微分して接線の傾きの式＝2Xを導いておきます。

Step0：（X0、Y0）＝（１、１）　接線の傾き：２
　点（１、１）から傾き２の接線を引いてX軸との交点を求めると、X＝1/2となり、これが初めの第一歩。
Step1：（X1、Y1）＝（1/2、1/4）　　接線の傾き：１
　点（1/2、1/4）から傾き１の接線を引いてX軸との交点を求めると、X＝1/4となり、これが２歩目。
Step2：（X2、Y2）＝（1/4、1/16）　　接線の傾き：1/2
　点（1/4、1/16）から傾き1/2の接線を引いてX軸との交点を求めると、X＝1/8となり、これが３歩目。
このように、のこぎりのように描いていくと、Yｉが１、1/4、1/16、1/64どんどん小さくなっていきます。
一方、Xについて見れば、変化の幅δXが、
　　　X0→X1：　δX＝1/2
　　　X1→X2：　δX＝1/4
　　　X2→X3：　δX＝1/8　
とやはり小さくなっていきます。
数値解析ですので、δX、Yiがぴったりゼロになることはなく、どこかで「収束した」と打ち切る判定をする
必要があります。そこで、「Yiが十分ゼロに近づいた」で判定するのが残差荷重判定、
「δXが十分ゼロに近づいた」で判定するのが変位判定。
YiやδXの値そのままを判定するのが絶対判定で、一方、変化の程度で判定するのが相対判定。
つまり、Yi+1/Yi＜判定値、δXi+1/δXi＜判定値
応力解析に置き換えて言えば、Xは変位、Yが荷重。傾きは剛性マトリックスKです。
また、接線を引いて交点を求めるのは、荷重に対する変位増分を求めていること、
また、X＝？に対する、Y＝X^2を求めているのは、等価節点力と荷重との差＝残差。
と言うか、いま描いたグラフを180度回転させると非線形の荷重変位曲線に見えると思います。
どうでしょうか。

> そう言えば、駆け出しの頃、初めてFEMの講義（の一部）をした時に、同じような説明をすると
> 　「正解が分かっているなら計算する必要ないじゃない？　その解を求めるのがFEMでは？」
> と突っ込まれ、冷や汗流して立ち往生した覚えが鮮明に残っています。
by ハッピーさん

かっては解析結果がどれだけ実験に近いかということを競ってましたが,
やがてライン業務になり解析結果と比較する実験データも無くなり,
プレゼに載せる実測データ収集に困ったり,逆に実験データと同時に
解析データをプレゼで使うと,”なんで,解析したのに実験するの?”
なんて質問になったるするんですよねぇ～
解析が珍しいなんてのは,過去の時代だし,ベンダーの開発スピードも
早いので,”普通じゃん”と言われないための努力も大変です.ホント!

ハッピーさん,Peroさん
レス、ありがとうございます。

今回、投稿させていただいた背景には、
ハッピーさんのお話に関連しますが、
私の仕事には解析Quality 向上活動というのが関係します。
私の会社では、設計者向けに受託解析を行っていますが、
最近納期が厳しく、納期にあわせた計算設定(収束設定？）を
行っておりました。そうすると、計算精度が悪い状態のアウトプット
しか得られず、結局やりなおし、再計算、納期遅れ、という悪循環
が頻発しました。そこで、収束設定のルール化進めている次第です。
そこで、熱応力時は変位判定が経験上良かったので、それをルール化する
上で、理論的な理屈付けがほしかった次第です。

最近の短納期には、本当に悩まされます。
もっとデリバリーを！！設計の人の耳にはあまり届きません。。。。